清华大学奥数题

时间:2024-02-03 06:32:13
清华大学奥数题

清华大学奥数题

清华大学奥数题。奥数题可以说是非常深奥的一种数学题目了,有不少奥数题目是用来考查清华学子的。那么接下来就由小编带大家详细的了解清华大学奥数题的相关内容。

  清华大学奥数题1

题目(5星难度):

x,y,z是互不相等的正整数,且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1),求满足条件的所有x,y,z。

讲解思路:

这道题属于数论问题,

初中高中很少涉及整除的问题,

这道题目考察的是小学奥数知识。

对于整除的问题,

可以假设存在正整数k,使:

(xy-1)(yz-1)(zx-1)=kxyz,

则可用等式的技巧处理整除关系。

为解题方便不妨设x<y<z,

总的解题思路是:

先判断x的范围,

再根据范围逐个代入尝试,

最后得到满足条件的正整数。

步骤1:

先思考第一个问题,

x的范围是多少?

由于kxyz=(xy-1)(yz-1)(zx-1)

=(xyz)^2-x*(xyz)-y*(xyz)-z*(xyz)

+xy+yz+xz-1,

故xy+yz+xz-1

=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),

则xy+yz+xz-1是xyz的正整数倍。

可得xyz不大于xy+yz+xz-1。

由于x<y<z,

故xy<xz<yz。

则有:xyz <= 3yz-1 < 3yz,

因此x<3,即x只能是1或2。

步骤2:

再思考第二个问题,

x可能等于1吗?

在步骤1中我们得到

xy+yz+xz-1

=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),

把x=1代入其中有:

y+yz+z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz),

即y+z-1=(k-yz+y+z)*(yz),

故y+z-1是yz的正整数倍,

则yz <= y+z-1 < 2z,

这说明y<2 ,即y=1,

这与x<y矛盾。

因此x不能等于1。

步骤3:

再思考第三个问题,

x可能等于2吗?

类似于步骤2的结论进行计算,

在步骤1中我们得到

xy+yz+xz-1

=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),

把x=2代入其中有:

2y+yz+2z-1=(k-yz+2+y+z)*(yz),

即2y+2z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz),

故2y+2z-1是yz的正整数倍,

则yz <= 2y+2z-1 < 4z,

这说明y<4,

由于y>x=2,

故y只能是3,

代入2y+2z-1是yz的正整数倍中,

可得2z+5是3z的正整数倍,

则3z <= 2z+5,

故z <= 5,

注意到 z>y=3,

则z只可能是4或5,

验证可得只有z=5满足条件。

因此满足条件的3个数是2,3,5。

考虑到对称性,

所以原题的答案有6组,

即x,y,z分别是2,3,5的6种排列。

注:这道题如果只想凑出答案不难,

但只凑出答案不能得分,

需要扎实的基本功进行计算,

最后给出严格的过程说明答案。

思考题(3星难度):

能否把1到15的正整数分为2组,使每组中的任意2个数的和,都不是完全平方数?

  清华大学奥数题2

五年级奥数题有哪些

1、甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地?

2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?

3、某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少?

4、一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比.

5、甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?

6、有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池?

7、小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间?

8、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车.

9、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米?

10、今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱?

11.桌上有3只杯子,全部口朝上,每次将其中2只同时"翻转".经过若干次操作之后,能不能将全部杯口都朝下。如果能,至少需要几次?如果不能,为什么?

  清华大学奥数题3

小学奥数都有什么题型

据了解,小学奥数题的难度虽然大大超过学生当前所学难度,但是与其所学知识点还是一样的,只是题型更加多变,考核更加深入。小编在此总结了小学奥数所有题型,具体包括:消去法、页码问题、还原法、平均数、定义新运算、最大最小值、位置原则、相遇行程、追及行程、火车行程、流水行程、牛吃草、方程、不定方程、假设法、设置法、面积计算、表面积、体积、图形计算、盈亏问题、年龄问题、植树问题、工程问题等,接下来就其中几个题型做一个详细的讲解。

1、植树问题

基本类型有四类,分别是:在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树;在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树;在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树;封闭曲线上植树。

基本公式有六个,分别是:棵数=段数+1;棵距×段数=总长;棵数=段数-1;棵距×段数=总长;棵数=段数;棵距×段数=总长。注意:首先确定所属类型,从而确定棵数与段数的'关系。

2、盈亏问题

基本定义:把一定数量的物品平均分给一定数量的人,由于物品和人数都未知,只已知在两次分配中一次是盈(有余),一次是亏(不足);或者两次都盈余,或者两次都亏的数量时,求参加分配的物品总量以及人员总数。

基本题型:

(1)一次盈,一次亏;

基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

(2)两次都盈余;

基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差

(3)两次都亏;

基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差

基本特点:对象总量和总的组数是不变的。

3、牛吃草问题

假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。注意:原草量和新草生长速度是不变的。

基本公式:生长量=(较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数)÷(长时间-短时间);总草量=较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量。

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